Inégalité exponentielle et application — Comparaison asymptotique

Exercice 6 — Inégalité fondamentale et conséquences

L'objectif de cet exercice est de démontrer et d'exploiter l'inégalité $e^x\ge 1+x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

1. Soit $h(x)=e^x-1-x$. Calculer $h^{\prime }(x)$, étudier les variations de $h$ et en déduire que $e^x\ge 1+x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, avec égalité si et seulement si $x=0$.
2. En substituant $x$ par $-x$ dans l'inégalité précédente, montrer que : $1-x\le e^{-x}\le \frac{1}{1+x}$ pour tout $x\in ]-1;+\infty [$, $x\ne 0$. (On admettra la deuxième inégalité si nécessaire, mais on justifiera la première.)
3. On considère la suite $(v_n)$ définie pour $n\ge 1$ par $v_n=n\cdot (e^{1/n}-1)$. En utilisant l'inégalité de la question 1 avec $x=1/n$, montrer que $v_n\ge 1$ pour tout $n\ge 1$.
4. Montrer également que $v_n\le n\cdot \frac{e^{1/n}}{n+1}$ $\times$ ... En utilisant la croissance comparée ou un encadrement adapté, montrer que $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=1$.
5. On pose $w_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$. En utilisant l'inégalité $e^x\ge 1+x$ avec $x=1/n$, montrer que $w_n\le e$ pour tout $n\ge 1$, puis que la suite $(w_n)$ est croissante.