Suite définie par récurrence et exponentielle — Bac France 2024

Exercice 4 — Suite et fonction exponentielle

On considère la suite ($u_n$) définie par $u_0=0$ et, pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1}=u_n+e^{-u_n}$.

On définit également la fonction f sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+e^{-x}$.

1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\ge 0$. On pourra procéder par récurrence.
2. Montrer que la suite ($u_n$) est strictement croissante.
3. Calculer $f^{\prime }(x)$ et montrer que $f(x)>x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. En déduire que la suite ($u_n$) est non majorée.
4. Calculer les cinq premiers termes de la suite (valeurs exactes), et vérifier numériquement la croissance.
5. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=e^{-u_n}$, et que cette quantité tend vers $0$. Que peut-on en conclure sur le comportement de la suite ?