دراسة دالة مع مقارب مائل

التمرين 3 — دراسة شاملة لدالة

نعتبر الدالة g المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي: $g(x)=x+1-2e^{-x}$.

1. احسب نهايتي g عند $-\infty$ وعند $+\infty$. فسر هندسيا النهاية عند $+\infty$.
2. بين أن المستقيم $\Delta$ الذي معادلته $y=x+1$ مقارب لمنحنى g عند $+\infty$. حدد الوضع النسبي للمنحنى بالنسبة للمستقيم $\Delta$.
3. احسب $g^{\prime }(x)$ وادرس تغيرات الدالة g.
4. بين أن المعادلة $g(x)=0$ تقبل حلا وحيدا $\alpha$ في $\mathbb{R}$، وتحقق أن $\alpha \in ]0;1[$.
5. استنتج إشارة $g(x)$ على $\mathbb{R}$.