متتالية معرفة بدالة أسية — التقارب

التمرين 4 — المتتاليات والدالة الأسية

نعتبر الدالة g المعرفة على [0 ; 1] بـ $g(x)=e^{x/2-1/2}$، والمتتالية $(u_n)$ المعرفة بما يلي:

$u_0=0$    و    $u_{n+1}=g(u_n)$ لكل $n\in \mathbb{N}$.

1. بين أن $g$ تطبيق من [0 ; 1] نحو [0 ; 1]، أي أنه لكل $x\in [0;1]$، لدينا $g(x)\in [0;1]$.
2. بين أن $g$ تقبل نقطة ثابتة وحيدة $\ell$ في [0 ; 1]، أي حلاً وحيداً للمعادلة $g(x)=x$ في [0 ; 1]. سنبين أن $\ell \in ]0;1[$.
3. بين أنه لكل $x\in [0;1]$، لدينا $|g^{\prime }(x)|<1/2$. استنتج أن $g$ هي تقليص على [0 ; 1].
4. بين بالترجع أنه لكل $n\in \mathbb{N}$، لدينا $u_n\in [0;1]$.
5. افترض أن المتتالية $(u_n)$ متقاربة. حدد نهايتها.