Situation-problème : modélisation exponentielle et optimisation

Une entreprise casablancaise modélise le rendement d'un produit financier (en millions de dirhams) par : $R(t)=(2t-1)e^{-t/2}+1$, pour $t\in [0;+\infty [$, où $t$ est le temps en années.
1. Calculer $R(0)$ et l'interpréter.
2. Calculer $R^{\prime }(t)$ et montrer qu'on peut l'écrire $R^{\prime }(t)=\left(\frac{5}{2}-t\right)e^{-t/2}$. Déterminer la valeur de $t$ qui maximise le rendement, puis calculer ce rendement maximum (on donne $e^{-5/4}\approx 0,2865$).
3. Montrer que $\underset{t\to +\infty }{\lim }R(t)=1$ et interpréter économiquement.