Suite récurrente définie par une exponentielle — Convergence

Exercice 4 — Suite et fonction exponentielle

On considère la fonction g définie sur [0 ; 1] par $g(x)=e^{x/2-1/2}$, et la suite $(u_n)$ définie par :

$u_0=0$    et    $u_{n+1}=g(u_n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Montrer que $g$ est une application de [0 ; 1] dans [0 ; 1], c'est-à-dire que pour tout $x\in [0;1]$, on a $g(x)\in [0;1]$.
2. Montrer que $g$ admet un unique point fixe $\ell$ dans [0 ; 1], c'est-à-dire une unique solution à $g(x)=x$ dans [0 ; 1]. On montrera que $\ell \in ]0;1[$.
3. Montrer que pour tout $x\in [0;1]$, $|g^{\prime }(x)|<1/2$. En déduire que $g$ est une contraction sur [0 ; 1].
4. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\in [0;1]$.
5. Admettre que la suite $(u_n)$ converge. Déterminer sa limite.