دراسة شاملة لدالة أسية

تمرين — دراسة دالة (نمط بكالوريا السنغال شعبة S)

نعتبر الدالة f المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ:

$f(x)=(x^2-x+1)\cdot e^x$

الجزء A: النهايات والسلوك التقاربي

1. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. فسّر النتيجة بيانياً عند $-\infty$.

الجزء B: دراسة المشتقة

2. بيّن أنه من أجل كل $x\in \mathbb{R}$: $f^{\prime }(x)=x^2\cdot e^x$.
3. ادرس إشارة $f^{\prime }(x)$ وأنشئ جدول تغيرات f الكامل.

الجزء C: التحدب

4. احسب $f^{\prime \prime }(x)$ وبيّن أن $f^{\prime \prime }(x)=(x^2+2x)\cdot e^x$.
5. حدد نقاط الانعطاف للمنحنى الممثل للدالة f.

الجزء D: المعادلة

6. بيّن أن المعادلة $f(x)=e^x$ تقبل بالضبط حلين في $\mathbb{R}$، وحددهما.