Étude complète d'une fonction avec eˣ et asymptote oblique

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2+x-1)e^x$. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$, et interpréter graphiquement la limite en $-\infty$. Montrer que $f^{\prime }(x)=(x^2+3x)e^x$, puis factoriser $f^{\prime }(x)$. Dresser le tableau de variations de $f$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions réelles ; préciser un encadrement de la solution positive. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ et déterminer les points d'inflexion de la courbe.