تأطير V n والنهاية نستعيد التأطير x + 1 1 < ln ( x + 1 ) − ln ( x ) < x 1 الصالح لـ x ≥ 1 . نعتبر المتتالية المعرفة لـ n ∈ N ∗ بـ: V n = n + 1 1 + n + 2 1 + ⋯ + 2 n 1 . بين أنه من أجل كل n ∈ N ∗ : ln ( n + 1 2 n + 1 ) < V n < ln ( 2 ) . استنتج نهاية المتتالية ( V n ) .

Limite d'une moyenne de termes harmoniques

Difficile

Énoncé

تأطير $V_{n}$ والنهاية

نستعيد التأطير $\frac{1}{x + 1} < ln (x + 1) - ln (x) < \frac{1}{x}$ الصالح لـ $x \geq 1$ . نعتبر المتتالية المعرفة لـ $n \in N^{*}$ بـ:

$V_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2 n} .$

بين أنه من أجل كل $n \in N^{*}$ : $ln (\frac{2 n + 1}{n + 1}) < V_{n} < ln (2)$ .
استنتج نهاية المتتالية $(V_{n})$ .

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

اكتب $V_n$ على شكل مجموع $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k$ وفكر في استعمال التأطير المعطى من أجل كل حد $\dfrac1k$.

2 الإرشاد 2

بجمع المتراجحات حدا حدا بين $k=n+1$ و $k=2n$، تتلاشى اللوغاريتمات تدريجيا: ابحث عن الحدود التي تظهر بعد هذا التلاشي (انتبه لإزاحة الأدلة من أجل التكبير).

3 الإرشاد 3

بمجرد إثبات التأطير، استعمل مبرهنة الحصر بدراسة نهايتي الحدين عندما $n\to+\infty$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

اكتب $V_{n}$ على شكل مجموع $k = n + 1 \sum 2 n \frac{1}{k}$ وفكر في استعمال التأطير المعطى من أجل كل حد $\frac{1}{k}$ .

بجمع المتراجحات حدا حدا بين $k = n + 1$ و $k = 2 n$ ، تتلاشى اللوغاريتمات تدريجيا: ابحث عن الحدود التي تظهر بعد هذا التلاشي (انتبه لإزاحة الأدلة من أجل التكبير).

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Encadrement et divergence de la série harmonique كل تمارين الدرس Équations logarithmiques simples

Limite d'une moyenne de termes harmoniques

Énoncé

تأطير $V_{n}$ والنهاية

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Limite d'une moyenne de termes harmoniques

Énoncé

تأطير Vn​ والنهاية

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯

تأطير $V_{n}$ والنهاية