Suite harmonique et logarithme Montrer que pour tout x ∈ [ 1 ; + ∞ [ : x + 1 1 < ln ( x + 1 ) − ln ( x ) < x 1 . On pose, pour n ∈ N ∗ , U n = 1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ + n 1 . Montrer que ln ( 1 + n ) < U n , puis en déduire n → + ∞ lim U n .

Encadrement et divergence de la série harmonique

Difficile

Montrer que pour tout $x \in [1; + \infty [$ :
$\frac{1}{x + 1} < ln (x + 1) - ln (x) < \frac{1}{x} .$
On pose, pour $n \in N^{*}$ , $U_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ . Montrer que $ln (1 + n) < U_{n}$ , puis en déduire $n \to + \infty lim U_{n}$ .

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1 Indice 1

Pour la question 1, applique le theoreme des accroissements finis a $\ln$ sur l'intervalle $[x;x+1]$.

2 Indice 2

Pour la question 2, applique l'inegalite de droite de la question 1 avec $x=k$ pour $k$ allant de $1$ a $n$, puis fais la somme.

3 Indice 3

Reconnais dans la somme des $\ln(k+1)-\ln(k)$ une somme telescopique.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour la question 1, applique le theoreme des accroissements finis a $ln$ sur l'intervalle $[x; x + 1]$ .

Pour la question 2, applique l'inegalite de droite de la question 1 avec $x = k$ pour $k$ allant de $1$ a $n$ , puis fais la somme.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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