Encadrement de V n et limite On reprend l'encadrement x + 1 1 < ln ( x + 1 ) − ln ( x ) < x 1 valable pour x ≥ 1 . On considère la suite définie pour n ∈ N ∗ par : V n = n + 1 1 + n + 2 1 + ⋯ + 2 n 1 . Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : ln ( n + 1 2 n + 1 ) < V n < ln ( 2 ) . En déduire la limite de la suite ( V n ) .

Limite d'une moyenne de termes harmoniques

Difficile

Énoncé

Encadrement de $V_{n}$ et limite

On reprend l'encadrement $\frac{1}{x + 1} < ln (x + 1) - ln (x) < \frac{1}{x}$ valable pour $x \geq 1$ . On considère la suite définie pour $n \in N^{*}$ par :

$V_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2 n} .$

Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $ln (\frac{2 n + 1}{n + 1}) < V_{n} < ln (2)$ .
En déduire la limite de la suite $(V_{n})$ .

Indices

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1 Indice 1

Écris $V_n$ comme une somme $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac1k$ et pense à utiliser l'encadrement donné pour chaque terme $\dfrac1k$.

2 Indice 2

En sommant les inégalités terme à terme entre $k=n+1$ et $k=2n$, les logarithmes se télescopent : cherche les bornes qui apparaissent après télescopage (attention aux décalages d'indices pour la majoration).

3 Indice 3

Une fois l'encadrement établi, utilise le théorème des gendarmes en étudiant les limites des deux bornes quand $n\to+\infty$.

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Écris $V_{n}$ comme une somme $k = n + 1 \sum 2 n \frac{1}{k}$ et pense à utiliser l'encadrement donné pour chaque terme $\frac{1}{k}$ .

En sommant les inégalités terme à terme entre $k = n + 1$ et $k = 2 n$ , les logarithmes se télescopent : cherche les bornes qui apparaissent après télescopage (attention aux décalages d'indices pour la majoration).

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