التمرين 6 – النموذج اللوغاريتمي واللوغاريتم العشري يتم نمذجة عدد سكان مدينة في جهة مراكش-آسفي بواسطة العلاقة التالية: P ( t ) = P 0 × 1 0 k t حيث t هو الزمن بالسنوات (t = 0 في عام 2000)، P 0 = 50 000 نسمة و k > 0 ثابتة. نعلم أنه في عام 2020 (t = 20)، كان عدد السكان 80 000 نسمة. بين أن k = 20 l o g ( 8/5 ) . أعط قيمة مقربة لـ k بدقة 1 0 − 4 . (نذكر أن lo g ( x ) = l n ( 10 ) l n ( x ) .) نعتبر الدالة f المعرفة على [ 0 ; + ∞ [ بـ f ( t ) = 50 000 × 1 0 k t . احسب f ′ ( t ) وفسر إشارتها. حدد السنة التي سيتجاوز فيها عدد السكان 100 000 نسمة. (عبر عن النتيجة باستخدام اللوغاريتم العشري، ثم أعط القيمة العددية.) نعتبر المتتالية ( a n ) المعرفة بـ a n = lo g ( n ) لكل n ≥ 1 . بين أنه لكل عدد صحيح n ≥ 1 : a n + 1 − a n = lo g ( 1 + n 1 ) . استنتج أن المتتالية ( a n ) تزايدية قطعا. بين أنه لكل عدد صحيح n ≥ 1 : a n + 1 − a n ≤ n ⋅ l n ( 10 ) 1 . (سنستخدم المتراجحة ln ( 1 + x ) ≤ x الصالحة لكل x > − 1 .)

اللوغاريتم العشري: نمو ومتراجحات

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Source-style : BAC France Spé Maths 2024

Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 6 – النموذج اللوغاريتمي واللوغاريتم العشري

يتم نمذجة عدد سكان مدينة في جهة مراكش-آسفي بواسطة العلاقة التالية:

$P (t) = P_{0} \times 1 0^{k t}$

حيث t هو الزمن بالسنوات (t = 0 في عام 2000)، $P_{0} = 50000$ نسمة و $k > 0$ ثابتة.

نعلم أنه في عام 2020 (t = 20)، كان عدد السكان 80 000 نسمة.

بين أن $k = \frac{l o g ( 8/5 )}{20}$ . أعط قيمة مقربة لـ k بدقة $1 0^{- 4}$ . (نذكر أن $lo g (x) = \frac{l n ( x )}{l n ( 10 )}$ .)
نعتبر الدالة f المعرفة على $[0; + \infty [$ بـ $f (t) = 50000 \times 1 0^{k t}$ . احسب $f^{'} (t)$ وفسر إشارتها.
حدد السنة التي سيتجاوز فيها عدد السكان 100 000 نسمة. (عبر عن النتيجة باستخدام اللوغاريتم العشري، ثم أعط القيمة العددية.)
نعتبر المتتالية $(a_{n})$ المعرفة بـ $a_{n} = lo g (n)$ لكل $n \geq 1$ . بين أنه لكل عدد صحيح $n \geq 1$ : $a_{n + 1} - a_{n} = lo g (1 + \frac{1}{n})$ . استنتج أن المتتالية $(a_{n})$ تزايدية قطعا.
بين أنه لكل عدد صحيح $n \geq 1$ : $a_{n + 1} - a_{n} \leq \frac{1}{n \cdot l n ( 10 )}$ . (سنستخدم المتراجحة $ln (1 + x) \leq x$ الصالحة لكل $x > - 1$ .)

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

ضع المعادلة $P(20)=80\,000$ واعزل $10^{20k}$ قبل تطبيق $\log$ على الطرفين.

2 الإرشاد 2

من اجل المشتقة اكتب $10^{kt}=e^{kt\ln 10}$ للاشتقاق بسهولة وادرس اشارة العوامل.

3 الإرشاد 3

من اجل المتراجحة الاخيرة استعمل $a_{n+1}-a_n=\log\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{\ln(1+1/n)}{\ln 10}$ والمتراجحة $\ln(1+x)\le x$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

ضع المعادلة $P (20) = 80000$ واعزل $1 0^{20 k}$ قبل تطبيق $lo g$ على الطرفين.

من اجل المشتقة اكتب $1 0^{k t} = e^{k t l n 10}$ للاشتقاق بسهولة وادرس اشارة العوامل.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points