دراسة دالة مركبة بالـ ln — مقارب ومساحة

التمرين 5 — دراسة شاملة وحساب مساحة

نعتبر الدالة h المعرفة على $]0,+\infty [$ بما يلي :

$h(x)=(\ln (x){)}^2-2\cdot \ln (x)$

نرمز بـ (C) إلى تمثيلها المبياني في معلم متعامد ممنظم.

1. احسب نهايتي h عند $0^{+}$ وعند $+\infty$. أول هندسيا النتيجتين.
2. احسب $h^{\prime }(x)$ ثم ضع جدول التغيرات الكامل للدالة h.
3. حدد نقط تقاطع (C) مع محور الأفاصيل.
4. بين أن المستقيم الذي معادلته $y=-1$ مماس للمنحنى (C) في نقطة A يجب تحديد إحداثياتها.
5. نعتبر الحيز D المحصور بين المنحنى (C)، محور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتاهما $x=1$ و $x=e^2$. احسب مساحة D بوحدة قياس المساحة.