دراسة دالة لوغاريتمية وأسية

التمرين 3 — دراسة كاملة لدالة

نعتبر الدالة g المعرفة على $]0,+\infty [$ بـ:

$g(x)=x\cdot \ln (x)-x+1$

1. احسب نهايات g عند $0^{+}$ وعند $+\infty$.
2. احسب $g^{\prime }(x)$ لكل $x\in ]0,+\infty [$. ادرس إشارتها وأنشئ جدول تغيرات g.
3. بيّن أنه لكل $x\in ]0,+\infty [$، $g(x)\ge 0$، مع تحقق المساواة إذا وفقط إذا كان $x=1$.
4. استنتج أنه لكل $x>0$: $\ln (x)\ge 1-\frac{1}{x}$. تحقق من المتراجحة عند $x=e$.
5. باستعمال السؤال 3، برهن أنه لكل عددين حقيقيين $a>0$ و $b>0$: $\ln \left(\frac{a}{b}\right)\ge 1-\frac{b}{a}$.