دراسة الدالة f(x) = x - ln(x) - 1: النهايات والسلوك عند 0

التمرين 1 — دراسة دالة لوغاريتمية

نعتبر الدالة f المعرفة على $]0,+\infty [$ بما يلي :

$f(x)=x-\ln (x)-1$

1. النهايات عند حدود مجال التعريف.

   1. احسب $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$. حدد سلوك منحنى الدالة f بجوار 0.
   2. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. فسر النتيجة هندسيا.

2. دراسة التغيرات.

   1. احسب $f^{\prime }(x)$ لكل $x\in ]0,+\infty [$.
   2. ادرس إشارة $f^{\prime }(x)$ ثم ضع جدول التغيرات الكامل للدالة f.

3. إشارة f والمتراجحة.

   1. استنتج إشارة $f(x)$ لكل $x\in ]0,+\infty [$.
   2. استنتج أن لكل $x>0$ : $\ln (x)\le x-1$.