التمرين 3 — دراسة شاملة لدالة نُعرف الدالة g على ] 0 ; + ∞ [ بما يلي: g ( x ) = x ⋅ ln ( x ) − x + 1 احسب نهايتي g عند 0 + وعند + ∞ . (نذكر أن x → 0 + lim x ⋅ ln ( x ) = 0 .) احسب g ′ ( x ) . ادرس إشارة g ′ ( x ) ثم ضع جدول التغيرات الكامل للدالة g. بين أن g ( x ) ≥ 0 لكل x > 0 واستنتج المتراجحة التالية: ∀ x > 0 , ln ( x ) ≥ 1 − x 1 نضع h ( x ) = x − 1 l n ( x ) لكل x > 0 و x  = 1 . احسب x → 1 lim h ( x ) . (سنستعمل نتيجة السؤال 3.) بين أن h تناقصية قطعا على ] 0 ; 1 [ وعلى ] 1 ; + ∞ [ .

دراسة شاملة للدالة g(x) = x·ln(x) − x + 1

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

التمرين 3 — دراسة شاملة لدالة

نُعرف الدالة g على $] 0; + \infty [$ بما يلي:

$g (x) = x \cdot ln (x) - x + 1$

احسب نهايتي g عند $0^{+}$ وعند $+ \infty$ . (نذكر أن $x \to 0^{+} lim x \cdot ln (x) = 0$ .)
احسب $g^{'} (x)$ . ادرس إشارة $g^{'} (x)$ ثم ضع جدول التغيرات الكامل للدالة g.
بين أن $g (x) \geq 0$ لكل $x > 0$ واستنتج المتراجحة التالية:
$\forall x > 0, ln (x) \geq 1 - \frac{1}{x}$
نضع $h (x) = \frac{l n ( x )}{x - 1}$ لكل $x > 0$ و $x \neq = 1$ .
1. احسب $x \to 1 lim h (x)$ . (سنستعمل نتيجة السؤال 3.)
2. بين أن h تناقصية قطعا على $] 0; 1 [$ وعلى $] 1; + \infty [$ .

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points