Une transformation homographique : ensembles de points et conditions

نعتبر التطبيق المعرف لكل $z\in \mathbb{C}\setminus \{i\}$ بـ:

$f(z)=\frac{z+i}{1+iz}$

1. بين أن $f(z)\in i\mathbb{R}⟺z\in i\mathbb{R}$.

2. بين أن $|f(z)|=1⟺z\in \mathbb{R}$.

3. حدد مجموعة $(E)$ النقط $M(z)$ بحيث $f(z)\in \mathbb{R}$.

4. بين أن $|f(z)|=3⟺\left|z-\frac{5}{4}i\right|=\frac{3}{4}$، ثم استنتج مجموعة $(\Gamma )$ النقط $M(z)$ بحيث $|f(z)|=3$.

5. بين أن $\mathrm{Re}(f(z))=\frac{1}{2}⟺\mathrm{Re}(z)=\frac{1}{4}|z-i{|}^2$، ثم حدد قيم $z$ التي تحقق $\mathrm{Re}(z)=1$ و $\mathrm{Re}(f(z))=\frac{1}{2}$.