Soient z 1 et z 2 deux nombres complexes tels que : ar g ( z 1 ) ≡ 2 π [ 2 π ] et ar g ( z 2 ) ≡ 4 π [ 2 π ] Déterminer un argument de z = z 1 z 2 , de z ′ = z 2 z 1 et de z ′′ = ( z 2 ) 4 . Déterminer un argument de z 3 dans chacun des cas : a) z 2 z 3 = z 1 2 ; b) z 3 × z 2 = 4 z 1 .

Calcul d'arguments par les propriétés du produit et du quotient

Facile

Énoncé

Soient $z_{1}$ et $z_{2}$ deux nombres complexes tels que :

$ar g (z_{1}) \equiv \frac{π}{2} [2 π] et ar g (z_{2}) \equiv \frac{π}{4} [2 π]$

Déterminer un argument de $z = z_{1} z_{2}$ , de $z^{'} = \frac{z _{1}}{z _{2}}$ et de $z^{''} = (z_{2})^{4}$ .
Déterminer un argument de $z_{3}$ dans chacun des cas : a) $\frac{z _{3}}{z _{2}} = z_{1}^{2}$ ; b) $z_{3} \times \overline{z_{2}} = 4 z_{1}$ .

Indices

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1 Indice 1

Rappelle-toi les propriétés fondamentales : $\arg(z_1 \times z_2) \equiv \arg(z_1) + \arg(z_2)$ modulo $2\pi$, et $\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) \equiv \arg(z_1) - \arg(z_2)$ modulo $2\pi$.

2 Indice 2

Pour trouver $\arg(z_3)$, isole-le dans chaque équation : pense à utiliser $\arg(\overline{z_2}) \equiv -\arg(z_2)$ et que $\arg(z^n) \equiv n \times \arg(z)$ modulo $2\pi$.

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Rappelle-toi les propriétés fondamentales : $ar g (z_{1} \times z_{2}) \equiv ar g (z_{1}) + ar g (z_{2})$ modulo $2 π$ , et $ar g (\frac{z _{1}}{z _{2}}) \equiv ar g (z_{1}) - ar g (z_{2})$ modulo $2 π$ .

Pour trouver $ar g (z_{3})$ , isole-le dans chaque équation : pense à utiliser $ar g (\overline{z_{2}}) \equiv - ar g (z_{2})$ et que $ar g (z^{n}) \equiv n \times ar g (z)$ modulo $2 π$ .

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