Une transformation homographique : ensembles de points et conditions

On considère l'application définie pour tout $z\in \mathbb{C}\setminus \{i\}$ par :

$f(z)=\frac{z+i}{1+iz}$

1. Montrer que $f(z)\in i\mathbb{R}⟺z\in i\mathbb{R}$.

2. Montrer que $|f(z)|=1⟺z\in \mathbb{R}$.

3. Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M(z)$ tels que $f(z)\in \mathbb{R}$.

4. Montrer que $|f(z)|=3⟺\left|z-\frac{5}{4}i\right|=\frac{3}{4}$, puis en déduire l'ensemble $(\Gamma )$ des points $M(z)$ tels que $|f(z)|=3$.

5. Montrer que $\mathrm{Re}(f(z))=\frac{1}{2}⟺\mathrm{Re}(z)=\frac{1}{4}|z-i{|}^2$, puis déterminer les $z$ vérifiant $\mathrm{Re}(z)=1$ et $\mathrm{Re}(f(z))=\frac{1}{2}$.