On pose f ( z ) = 1 + cos α z + z 2 où z ∈ C ∖ { 0 } et α ∈ ] − π , π [ . Écrire f ( 1 − i ) sous forme algébrique et montrer que f ( 1 − i ) ∈ / i R . Déterminer les valeurs de α pour lesquelles f ( 1 − i ) ∈ R . Montrer que f ( z ) = f ( z ) ⇔ ( z = z ou ∣ z ∣ = 2 cos 2 α ) , puis en déduire l'ensemble ( Γ ) = { M ( z ) / f ( z ) ∈ R } . Déterminer l'ensemble ( Γ ′ ) = { M ( z ) / f ( z ) ∈ i R } .

Forme algébrique d'une expression et lieux associés

Difficile

Énoncé

On pose $f (z) = \frac{z}{1 + cos α} + \frac{2}{z}$ où $z \in C ∖ {0}$ et $α \in] - π, π [$ .

Écrire $f (1 - i)$ sous forme algébrique et montrer que $f (1 - i) \in / i R$ .
Déterminer les valeurs de $α$ pour lesquelles $f (1 - i) \in R$ .
Montrer que $f (z) = \overline{f (z)} \Leftrightarrow (\overline{z} = z ou ∣ z ∣ = 2 cos \frac{α}{2})$ , puis en déduire l'ensemble $(Γ) = {M (z) / f (z) \in R}$ .
Déterminer l'ensemble $(Γ^{'}) = {M (z) / f (z) \in i R}$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la question 1, calcule $\\dfrac{2}{1-i}$ en multipliant par le conjugue, puis reduis $f(1-i)$ au meme denominateur pour separer partie reelle et imaginaire.

2 Indice 2

Pour la question 3, ecris $f(z)-\\overline{f(z)}=0$, regroupe les termes en $z-\\overline{z}$ et factorise (attention a $\\dfrac{1}{z}-\\dfrac{1}{\\overline z}$ qui s'exprime avec $|z|^2$).

3 Indice 3

Utilise la formule $1+\\cos\\alpha=2\\cos^2\\dfrac{\\alpha}{2}$ pour simplifier la condition $|z|^2=2(1+\\cos\\alpha)$, puis raisonne de facon analogue pour $(\\Gamma')$ avec $z+\\overline z$.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, calcule $df r a c 2 1 - i$ en multipliant par le conjugue, puis reduis $f (1 - i)$ au meme denominateur pour separer partie reelle et imaginaire.

Pour la question 3, ecris $f (z) - o v er l in e f (z) = 0$ , regroupe les termes en $z - o v er l in e z$ et factorise (attention a $df r a c 1 z - df r a c 1 o v er l in ez$ qui s'exprime avec $∣ z ∣^{2}$ ).

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