Exercice 2 — Forme trigonométrique On considère les nombres complexes z A = 1 + i 3 et z B = 3 − i . Calculer le module et un argument de z A , puis écrire z A sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle. Calculer le module et un argument de z B , puis écrire z B sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle. En déduire la forme trigonométrique et exponentielle de z A × z B et de z A ÷ z B , sans effectuer les multiplications directement. Vérifier le résultat de z A × z B en effectuant le produit algébriquement.

Argument et forme trigonométrique d'un nombre complexe

Facile Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 2 — Forme trigonométrique

On considère les nombres complexes $z_{A} = 1 + i 3$ et $z_{B} = 3 - i$ .

Calculer le module et un argument de $z_{A}$ , puis écrire $z_{A}$ sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle.
Calculer le module et un argument de $z_{B}$ , puis écrire $z_{B}$ sous forme trigonométrique et sous forme exponentielle.
En déduire la forme trigonométrique et exponentielle de $z_{A} \times z_{B}$ et de $z_{A} \div z_{B}$ , sans effectuer les multiplications directement.
Vérifier le résultat de $z_{A} \times z_{B}$ en effectuant le produit algébriquement.

Indices

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1 Indice 1

Pour trouver le module, utilise la formule $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ où $z = a + ib$. Pour l'argument, identifie d'abord $\cos\theta = \dfrac{a}{|z|}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{|z|}$, puis cherche l'angle $\theta$ correspondant dans le cercle trigonométrique.

2 Indice 2

Une fois les formes exponentielles obtenues, rappelle-toi que pour multiplier deux complexes : $r_1 e^{i\theta_1} \times r_2 e^{i\theta_2} = (r_1 \times r_2) e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$. Pour diviser, les modules se divisent et les arguments se soustraient.

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Pour trouver le module, utilise la formule $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ où $z = a + ib$ . Pour l'argument, identifie d'abord $cos θ = \frac{a}{∣ z ∣}$ et $sin θ = \frac{b}{∣ z ∣}$ , puis cherche l'angle $θ$ correspondant dans le cercle trigonométrique.

Une fois les formes exponentielles obtenues, rappelle-toi que pour multiplier deux complexes : $r_{1} e^{i θ_{1}} \times r_{2} e^{i θ_{2}} = (r_{1} \times r_{2}) e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$ . Pour diviser, les modules se divisent et les arguments se soustraient.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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