Interprétation géométrique et transformations planes

Exercice 5 — Transformations planes et nombres complexes

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O, ū, v̄). On considère les points A et B d'affixes respectives $z_A=2$ et $z_B=2i$.

Partie 1 — Étude d'une transformation

On définit la transformation f du plan dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' tel que :

$z^{\prime }=(1+i)z-2i$

1. Montrer que f est une similitude directe. Préciser son rapport k, son angle $\alpha$, et son centre $\Omega$ (point fixe de f).
2. Déterminer les images A' et B' de A et B par f.
3. Calculer $|A^{\prime }{B}^{\prime }|$ et vérifier qu'elle est cohérente avec le rapport de la similitude.

Partie 2 — Argument et alignement

On considère trois points distincts P, Q, R d'affixes respectives p, q, r.

4. Rappeler la condition sur $\arg \left(\frac{r-p}{q-p}\right)$ pour que P, Q, R soient alignés.
5. On pose $p=0$, $q=1+i$ et $r=3+i$. Calculer $\frac{r-p}{q-p}$. Les points P, Q, R sont-ils alignés ? Justifier.
6. Calculer l'angle $(\overline{PQ},\overline{PR})$ orienté (en radians).