z₁=3+2i, z₂=1-i : quotient et multiplicativité du module

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes :

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1\times z_2$ et $z_1/z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique $a+bi$.
2. Calculer le module de $z_1$, de $z_2$ et de $z_1\times z_2$. Vérifier que $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.
3. Déterminer le conjugué $\overline{z_1}$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
4. Soit $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $z^2=5+12i$.