Forme exponentielle, formule de Moivre et identités trigonométriques

Exercice 2 — Forme exponentielle et formule de Moivre

On pose $j=e^{i2\pi /3}$.

Partie 1 — Étude de j

1. Écrire j sous forme algébrique. On rappelle que $\cos (2\pi /3)=-1/2$ et $\sin (2\pi /3)=\sqrt{3}/2$.
2. Montrer que j est racine du polynôme $P(z)=z^2+z+1$. En déduire que $1+j+j^2=0$.
3. Calculer $j^3$ en utilisant la forme exponentielle. Que représente géométriquement j dans le plan complexe ?

Partie 2 — Formule de Moivre et trigonométrie

Soit $\theta \in \mathbb{R}$. On pose $z=\cos \theta +i\sin \theta$.

1. En développant $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3$ à l'aide du binôme de Newton, exprimer $\cos (3\theta )$ et $\sin (3\theta )$ en fonction de $\cos \theta$ et $\sin \theta$.
2. En déduire une expression de $\cos (3\theta )$ uniquement en fonction de $\cos \theta$.
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $4{\cos }^3\theta -3\cos \theta =1/2$.

Partie 3 — Application

On considère les points A, B, C d'affixes respectives $z_A=1$, $z_B=j$, $z_C=j^2$. Montrer que le triangle ABC est équilatéral.