Suites et nombres complexes — convergence et représentation

Exercice 6 — Suite de nombres complexes et géométrie

On définit la suite ($z_n$) de nombres complexes par :

• $z_0=1$
• Pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $z_{n+1}=\frac{1}{2}{z}_n+\frac{1}{2}i$

1. Partie A — Étude de la suite

   (a) Montrer que la suite ($z_n$) peut s'écrire $z_{n+1}-L=\frac{1}{2}(z_n-L)$ pour un nombre complexe $L$ à déterminer.
   (b) En déduire une expression de $z_n$ en fonction de $n$.
   (c) Montrer que la suite ($z_n$) converge et déterminer sa limite $l$.

2. Partie B — Modules et arguments

   On pose $w_n=z_n-l$ (où $l$ est la limite trouvée en A).
   (a) Exprimer $|w_n|$ en fonction de $n$. Que peut-on dire de la suite ($|w_n|$)?
   (b) Montrer que $\arg (w_{n+1})=\arg (w_n)$ pour tout $n$, et interpréter géométriquement.

3. Partie C — Représentation géométrique

   Soit $M_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le plan complexe.
   (a) Montrer que les points $M_n$ sont tous situés sur un même segment $[AB]$ que l'on déterminera.
   (b) Calculer la distance $M_n{M}_{n+1}$ en fonction de $n$.
   (c) Montrer que la série de longueurs $\sum M_n{M}_{n+1}$ est une suite géométrique convergente et calculer la somme totale des distances parcourues.

4. Partie D — Forme exponentielle

   Écrire $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sous forme algébrique, puis calculer $|z_n-l|$ et $\arg (z_n-l)$ pour $n\ge 1$. En déduire la forme exponentielle de $w_n=z_n-l$.