Transformation du plan complexe — similitude et ensemble de points

Exercice 5 — Transformation du plan et lieu géométrique

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O, $\vec{u}$, $\vec{v}$). À tout point M d'affixe $z\ne i$, on associe le point M' d'affixe $z^{\prime }$ défini par :

$z^{\prime }=\frac{z+1}{z-i}$

1. Partie A — Préliminaires algébriques

   (a) Montrer que $z^{\prime }$ peut s'écrire sous la forme $z^{\prime }=1+\frac{1+i}{z-i}$.
   (b) Déterminer l'affixe du point M tel que $z^{\prime }=z$ (points fixes de la transformation).

2. Partie B — Image d'une droite

   On considère l'ensemble D des points M d'affixe $z$ tels que $\text{Re}(z)=0$ (l'axe imaginaire pur), avec $z\ne i$.
   (a) On pose $z=iy$ avec $y\in \mathbb{R}$, $y\ne 1$. Exprimer $z^{\prime }$ en fonction de $y$ sous forme algébrique.
   (b) Montrer que $\text{Re}(z^{\prime })=-\frac{1}{2}$ pour tout $z\in D$. En déduire que l'image de D par la transformation est contenue dans une droite verticale que l'on précisera.

3. Partie C — Image d'un cercle

   On considère l'ensemble $\Gamma$ des points M d'affixe $z$ tels que $|z|=1$, avec $z\ne i$.
   (a) On pose $z=e^{i\theta }$ avec $\theta \in ]-\pi ;\pi [$, $\theta \ne \frac{\pi }{2}$. Exprimer $|z^{\prime }{|}^2$ en fonction de $\theta$.
   (b) Montrer que l'image de $\Gamma$ par la transformation est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

4. Partie D — Condition géométrique

   Déterminer l'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $z^{\prime }$ est un réel ($\text{Im}(z^{\prime })=0$). Décrire géométriquement cet ensemble.