Puissances, forme exponentielle et suite géométrique complexe

Exercice 6 — Suite géométrique complexe et forme exponentielle

On pose $\omega =e^{i\pi /6}$ et on définit la suite ($z_n$)${}_{n\in \mathbb{N}}$ par :

$z_0=2$   et   $z_{n+1}=(1+i\sqrt{3})\times z_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Partie 1 — Étude de la suite

1. Montrer que ($z_n$) est une suite géométrique de raison q. Préciser q sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
2. Exprimer $z_n$ en fonction de n sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
3. Calculer $|z_n|$ et $\arg (z_n)$ en fonction de n.

Partie 2 — Interprétation géométrique

On note $M_n$ le point d'affixe $z_n$ dans un repère orthonormé direct $(O,\bar{u},\bar{v})$.

4. Montrer que tous les points $M_n$ sont situés sur une spirale : préciser comment le module et l'argument évoluent à chaque étape.
5. Déterminer les valeurs de $n\in \mathbb{N}$ pour lesquelles $M_n$ est sur l'axe des réels (partie imaginaire nulle). En déduire les affixes correspondantes.
6. On pose $S_n=z_0+z_1+...+z_n$. Calculer $S_n$ en fonction de n. Donner la forme algébrique de $S_2$.