Résolution de z³ = -8 dans ℂ

Exercice 4 — Racines cubiques et géométrie

On cherche à résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation (E) : $z^3=-8$.

Partie 1 — Résolution de (E)

1. Écrire $-8$ sous forme exponentielle $r\cdot e^{i\theta }$.
2. En déduire les trois racines cubiques $z_0$, $z_1$, $z_2$ de $-8$. On les exprimera sous forme algébrique.

Partie 2 — Étude géométrique

On note A, B, C les images respectives de $z_0$, $z_1$, $z_2$ dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé $(O,\bar{u},\bar{v})$.

3. Calculer $|z_0|$, $|z_1|$, $|z_2|$ et interpréter géométriquement.
4. Calculer $|z_1-z_0|$, $|z_2-z_1|$ et $|z_0-z_2|$. Que peut-on conclure sur le triangle ABC ?
5. Calculer l'affixe du centre de gravité G du triangle ABC. Interpréter.