z₁=3+2i, z₂=1-i : opérations et conjugué détaillés

Exercice 1 — Forme algébrique et module

On considère les nombres complexes :

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

Partie 1 — Opérations en forme algébrique

1. Calculer $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ et $z_1\times z_2$. Donner les résultats sous forme algébrique $a+bi$.
2. Calculer le conjugué $\overline{z_1}$ de $z_1$, puis vérifier que $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
3. Écrire le quotient $z_1÷z_2$ sous forme algébrique en multipliant le numérateur et le dénominateur par $\overline{z_2}$.

Partie 2 — Modules et argument

1. Calculer $|z_1|$, $|z_2|$ et $|z_1\times z_2|$. Vérifier que $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.
2. Déterminer un argument de $z_2=1-i$. En déduire la forme trigonométrique de $z_2$.