Racines 4ièmes de −1 dans ℂ

Difficile
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Énoncé

On cherche les solutions de l'équation dans .

  1. Écrire sous forme trigonométrique (module et argument).
  2. Utiliser la formule des racines n-ièmes pour trouver les 4 solutions ().
  3. Écrire chaque racine sous forme exponentielle .
  4. Écrire chaque racine sous forme algébrique .
  5. Représenter les 4 racines sur le cercle unité.

Indices

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1 Indice 1
Écris $-1$ sous forme trigonométrique : cherche son module (toujours 1 ici) et un argument $\\theta$ tel que $\\cos\\theta=-1$ et $\\sin\\theta=0$.
2 Indice 2
Utilise la formule des racines n-ièmes $z_k = r^{1/n}e^{i(\\theta+2k\\pi)/n}$ pour $k=0,1,2,3$ avec $n=4$.
3 Indice 3
Pour passer à la forme algébrique, utilise les valeurs connues de $\\cos$ et $\\sin$ pour les angles $\\frac{\\pi}{4}$, $\\frac{3\\pi}{4}$, etc.

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La méthode — par où commencer

Écris sous forme trigonométrique : cherche son module (toujours 1 ici) et un argument tel que et .

Utilise la formule des racines n-ièmes pour avec .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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