Dans le plan complexe, on considère les points A(affixe 0), B(affixe 1) et C(affixe z C ). Soit f la similitude directe qui envoie A sur B et B sur C, avec z C = 2 1 + i 3 . Déterminer les coefficients a et b de f ( z ) = a z + b à partir des conditions f ( 0 ) = 1 et f ( 1 ) = z C . Calculer ∣ a ∣ et ar g ( a ) . Quel est le rapport et l'angle de cette similitude ? Calculer ∣ A B ∣ , ∣ B C ∣ et ∣ C A ∣ . Que peut-on conclure sur le triangle ABC ? Trouver le centre Ω de la similitude (point fixe).

Problème BAC — similitude directe et triangle équilatéral

Difficile

Dans le plan complexe, on considère les points A(affixe 0), B(affixe 1) et C(affixe $z_{C}$ ).

Soit f la similitude directe qui envoie A sur B et B sur C, avec $z_{C} = \frac{1 + i 3}{2}$ .

Déterminer les coefficients a et b de $f (z) = a z + b$ à partir des conditions $f (0) = 1$ et $f (1) = z_{C}$ .
Calculer $∣ a ∣$ et $ar g (a)$ . Quel est le rapport et l'angle de cette similitude ?
Calculer $∣ A B ∣$ , $∣ B C ∣$ et $∣ C A ∣$ . Que peut-on conclure sur le triangle ABC ?
Trouver le centre $Ω$ de la similitude (point fixe).

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1 Indice 1

Écris $f(z)=az+b$ puis utilise les deux conditions $f(0)=1$ et $f(1)=z_C$ pour former un système simple en $a$ et $b$.

2 Indice 2

Le rapport de la similitude est $|a|$ et son angle est $\arg(a)$ ; calcule-les à partir de la forme algébrique trouvée pour $a$.

3 Indice 3

Pour le centre $\Omega$, résous l'équation du point fixe $a\omega+b=\omega$, c'est-à-dire $(a-1)\omega=-b$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Écris $f (z) = a z + b$ puis utilise les deux conditions $f (0) = 1$ et $f (1) = z_{C}$ pour former un système simple en $a$ et $b$ .

Le rapport de la similitude est $∣ a ∣$ et son angle est $ar g (a)$ ; calcule-les à partir de la forme algébrique trouvée pour $a$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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