Similitude directe — centre, rapport, angle (Bac)

Difficile
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Énoncé

On considère la similitude directe s définie par :

  1. Déterminer le rapport et l'angle de cette similitude.
  2. Trouver le centre de la similitude (point fixe de s).
  3. Montrer que s est une similitude directe d'angle .
  4. Vérifier que la transformation envoie sur et sur . Calculer .
  5. Déterminer l'image du cercle de centre 0 et de rayon 1 par s.

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Écris $s(z)=az+b$ avec $a=1+i$, $b=2-2i$ ; le rapport est $|a|$ et l'angle est $\arg(a)$.
2 Indice 2
Le centre $\Omega$ est le point fixe : résous l'équation $s(\omega)=\omega$, c'est-à-dire $(1+i)\omega+2-2i=\omega$.
3 Indice 3
Pour la question 4, calcule les images $A'=s(0)$ et $B'=s(1)$, puis les modules $|AB|$ et $|A'B'|$ pour vérifier le rapport $k$. Pour la question 5, souviens-toi qu'une similitude transforme un cercle de centre $O$ et rayon $r$ en un cercle de centre $s(O)$ et rayon $k \times r$.

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La méthode — par où commencer

Écris avec , ; le rapport est et l'angle est .

Le centre est le point fixe : résous l'équation , c'est-à-dire .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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