Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère les points A d'affixe z A = 2 et B d'affixe z B = 2 i . On définit la transformation f par z ′ = ( 1 + i ) z − 2 i . Montrer que f est une similitude directe. Préciser son rapport, son angle et son centre. Déterminer les images de A et B par f. Calculer f ( z A ) et f ( z B ) . Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que ∣ z ′ − 2∣ = ∣ z ′ + 2∣ où z ′ = f ( z ) . Montrer que si ∣ z ∣ = 1 , alors ∣ z ′ ∣ = 2 .

Transformations géométriques dans ℂ (Bac)

Difficile

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, on considère les points A d'affixe $z_{A} = 2$ et B d'affixe $z_{B} = 2 i$ .

On définit la transformation f par $z^{'} = (1 + i) z - 2 i$ .

Montrer que f est une similitude directe. Préciser son rapport, son angle et son centre.
Déterminer les images de A et B par f.
Calculer $f (z_{A})$ et $f (z_{B})$ .
Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que $∣ z^{'} - 2∣ = ∣ z^{'} + 2∣$ où $z^{'} = f (z)$ .
Montrer que si $∣ z ∣ = 1$ , alors $∣ z^{'} ∣ = 2$ .

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1 Indice 1

Identifiez $a$ et $b$ dans $z'=az+b$ : le rapport de la similitude est $|a|$ et l'angle est $\arg(a)$.

2 Indice 2

Le centre $\Omega$ vérifie $z_\Omega = a z_\Omega + b$, donc résolvez cette équation en $z_\Omega$.

3 Indice 3

Pour la question 4, remarquez que $|z'-2|=|z'+2|$ signifie que $z'$ est équidistant de deux points, donc sur leur médiatrice.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Identifiez $a$ et $b$ dans $z^{'} = a z + b$ : le rapport de la similitude est $∣ a ∣$ et l'angle est $ar g (a)$ .

Le centre $Ω$ vérifie $z_{Ω} = a z_{Ω} + b$ , donc résolvez cette équation en $z_{Ω}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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