Dans le plan complexe, on considère les points A(1), B(i), C(-1) et M(z) avec z  = -1. On pose Z = z + 1 z − 1 . Déterminer l'ensemble des points M tels que Z soit réel. Déterminer l'ensemble des points M tels que Z soit imaginaire pur. Déterminer l'ensemble des points M tels que ∣ Z ∣ = 1 . Montrer que Z = i implique que le triangle ABM est rectangle isocèle en A. Préciser M.

Application géométrique (Bac national)

Difficile

Dans le plan complexe, on considère les points A(1), B(i), C(-1) et M(z) avec z $\neq =$ -1.

On pose Z = $\frac{z - 1}{z + 1}$ .

Déterminer l'ensemble des points M tels que Z soit réel.
Déterminer l'ensemble des points M tels que Z soit imaginaire pur.
Déterminer l'ensemble des points M tels que $∣ Z ∣ = 1$ .
Montrer que $Z = i$ implique que le triangle ABM est rectangle isocèle en A. Préciser M.

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1 Indice 1

Rappelle-toi que $Z$ réel équivaut à $\arg(Z) = 0\ [\pi]$, ce qui traduit un alignement de points.

2 Indice 2

$Z$ imaginaire pur équivaut à $\arg(Z) = \dfrac{\pi}{2}\ [\pi]$, ce qui traduit un angle droit ; et $|Z|=1$ équivaut à une égalité de distances.

3 Indice 3

Pour la question 4, résous $\dfrac{z-1}{z+1} = i$ en isolant $z$, puis interprète le module et l'argument de $Z$ en termes d'angles du triangle.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Rappelle-toi que $Z$ réel équivaut à $ar g (Z) = 0 [π]$ , ce qui traduit un alignement de points.

$Z$ imaginaire pur équivaut à $ar g (Z) = \frac{π}{2} [π]$ , ce qui traduit un angle droit ; et $∣ Z ∣ = 1$ équivaut à une égalité de distances.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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