Équation du second degré dans ℂ et racines complexes — Bac Côte d'Ivoire 2023

Exercice 3 — Équations dans $\mathbb{C}$

Partie A — Racine carrée d'un nombre complexe

On cherche les racines carrées du nombre complexe w = −7 + 24i, c'est-à-dire les nombres complexes z = a + bi (a, b $\in$ $\mathbb{R}$) tels que $z^2$ = w.

1. En développant $z^2$, montrer que a et b vérifient le système :
   $a^2$ − $b^2$ = −7 et 2ab = 24 et $a^2$ + $b^2$ = |w|.
2. Calculer |w|, puis résoudre le système pour déterminer a et b.
3. En déduire les deux racines carrées de w.

Partie B — Équation du second degré

On considère l'équation (E) : $z^2$ − $(3+i)z+(4+3i)=0$.

4. Calculer le discriminant $\Delta$ = $(3+i{)}^2$ − $4(4+3i)$.
5. En utilisant le résultat de la Partie A (ou en recalculant), déterminer les racines carrées de $\Delta$.
6. Résoudre l'équation (E) dans $\mathbb{C}$.