Argument et forme exponentielle d'un complexe

Facile Inspiré BAC Côte d'Ivoire
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Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire
Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 2 — Argument et forme exponentielle. On considère le nombre complexe . Calculer . Déterminer un argument de , avec . En déduire la forme trigonométrique de . Écrire sous forme exponentielle. En utilisant la forme exponentielle, calculer et ; donner les résultats sous forme algébrique. Montrer que est une racine cubique de , c'est-à-dire que .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour trouver le module de $z = 1 + \sqrt{3}\,i$, applique la formule $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ où $a$ est la partie réelle et $b$ la partie imaginaire. Calcule ensuite $\cos\theta = \dfrac{a}{|z|}$ et $\sin\theta = \dfrac{b}{|z|}$ pour identifier l'angle.
2 Indice 2
Une fois que tu as trouvé $|z|$ et $\theta$, écris $z = |z|\,e^{i\theta}$. Pour calculer $z^3$, utilise la propriété $(r\,e^{i\theta})^n = r^n\,e^{i n\theta}$, puis remplace $e^{i\pi}$ par sa valeur en cosinus et sinus.

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La méthode — par où commencer

Pour trouver le module de , applique la formule où est la partie réelle et la partie imaginaire. Calcule ensuite et pour identifier l'angle.

Une fois que tu as trouvé et , écris . Pour calculer , utilise la propriété , puis remplace par sa valeur en cosinus et sinus.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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