Formule de Moivre, linéarisation et racines de l'unité

Exercice 4 — Formule de Moivre et racines cubiques de l'unité

Partie A — Application de la formule de Moivre

1. En développant (cos $\theta$ + i sin $\theta$${)}^3$ à l'aide de la formule de Moivre et du binôme de Newton, démontrer les identités :
   cos(3$\theta$) = 4co$s^3$$\theta$ − 3cos $\theta$
   sin(3$\theta$) = 3sin $\theta$ − 4si$n^3$$\theta$
2. En déduire la valeur exacte de cos($\pi$$÷$9) sachant qu'il vérifie 8$x^3$ − 6x − 1 = 0 (on admettra ce fait).

Partie B — Racines cubiques de l'unité

3. Résoudre l'équation $z^3$ = 1 dans $\mathbb{C}$. On notera les racines 1, j et j̄.
4. Montrer que j est racine du polynôme P(z) = $z^2$ + z + 1, puis factoriser P(z) sur $\mathbb{C}$.
5. Montrer que 1 + j + $j^2$ = 0 et que $j^3$ = 1.
6. Calculer (1 − j)(1 − $j^2$). En déduire la valeur de |(1 − j)(1 − $j^2$)|.