Suite de points et sommes géométriques

Soit $a\in \mathbb{C}\setminus \{1\}$. On pose $f(z)=a\overline{z}+ia+i$ et on note $A_0$ le point d'affixe $z_0=4+4i$ et $\Omega$ le point d'affixe $i$. Pour $n\in \mathbb{N}$, $A_n$ est le point d'affixe $z_n$ et $A_{n+1}$ celui d'affixe $z_{n+1}=f(z_n)$.

1. Vérifier que $f(i)=i$ et déterminer l'affixe de $A_1$.

2. Déterminer le réel $k$ tel que $\Omega A_{n+1}=k\Omega A_n$, puis en déduire $\Omega A_n$ en fonction de $a$ et $n$.

3. On pose $S_n=\sum _{k=0}^n\Omega A_k$ et $T_n=\sum _{k=0}^n{A}_k{A}_{k+1}$. Calculer $S_n$, puis $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{T}_n$ dans le cas $|a|<1$.