Suite de points et somme géométrique

Suite de points et somme géométrique

Soit $a\in \mathbb{C}\setminus \{1\}$. On pose $f(z)=a\bar{z}+ia+i$. On note $A_0$ le point d'affixe $z_0=4+4i$, $\Omega (i)$, et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $A_{n+1}$ le point d'affixe $z_{n+1}=f(z_n)$.

1. Vérifier que $f(i)=i$ et déterminer l'affixe de $A_1$.

2. Déterminer le réel $k$ tel que $\Omega A_{n+1}=k\Omega A_n$, puis exprimer $\Omega A_n$ en fonction de $a$ et $n$.

3. On pose $S_n=\sum _{k=0}^n\Omega A_k$. Calculer $S_n$, puis $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$ lorsque $|a|<1$.