Transformation homographique et lieux géométriques

On pose $u=\frac{2z+i}{z+2i}$ où $z\in \mathbb{C}\setminus \{-2i\}$.

1. Montrer que $|u|=1\iff |z|=1$.

2. Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $|u|=2$.

3. Déterminer l'ensemble $(\Gamma )$ des points $M^{\prime }(u)$ lorsque $M(z)$ décrit le cercle $\mathcal{C}(\Omega (-2i),r)$ avec $r>0$.

4. Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M(z)$ tels que $|z+2i|=|z|$.

5. Déterminer l'ensemble $(F)$ des points $M^{\prime }(u)$ lorsque $M(z)$ décrit $(E)$.