Équation paramétrée, rotation et configuration géométrique

لتكن $m$ عددا عقديا غير حقيقي ($m\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$).

I) نعتبر في $\mathbb{C}$ المعادلة:

$(E):z^2-(1+i)(1+m)z+2im=0$

1. 1. بين أن مميز $(E)$ غير منعدم.
   2. عين $z_1$ و $z_2$، الحلين للمعادلة $(E)$.
2. نفترض هنا أن $m=e^{i\theta }$ حيث $0<\theta <\pi$.
   1. عين معيار وعمدة $z_1+z_2$.
   2. بين أنه إذا كان $z_1{z}_2\in \mathbb{R}$، فإن $z_1+z_2=2i$.

II) المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس مباشر $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. نعتبر $A$ لاحقته $a=1+i$، $B$ لاحقته $b=(1+i)m$، $C$ لاحقته $c=1-i$، $D$ صورة $B$ بالدوران الذي مركزه $O$ وزاويته $\frac{\pi }{2}$، و $\Omega$ منتصف $[CD]$.

1. 1. بين أن لاحقة $\Omega$ هي $\omega =\frac{(1-i)(1-m)}{2}$ واحسب $\frac{b-a}{\omega }$.
   2. استنتج أن $(O\Omega )\perp (AB)$ وأن $AB=2O\Omega$.