Soit z = cos 7 2 π + i sin 7 2 π = e i 7 2 π . On pose a = z + z 2 + z 4 et b = z 3 + z 5 + z 6 . Calculer la somme S = 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 + z 6 . En déduire que a + b = − 1 . Montrer que a × b = 2 , puis que Im ( a ) > 0 . En déduire que a = − 2 1 + i 2 7 et que b = a . Déterminer la valeur exacte de u = sin 7 π − sin 7 2 π − sin 7 4 π .

Racines septièmes de l'unité et somme trigonométrique

Difficile

Énoncé

Soit $z = cos \frac{2 π}{7} + i sin \frac{2 π}{7} = e^{i \frac{2 π}{7}}$ . On pose $a = z + z^{2} + z^{4}$ et $b = z^{3} + z^{5} + z^{6}$ .

1. Calculer la somme $S = 1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} + z^{5} + z^{6}$ .
2. En déduire que $a + b = - 1$ .
Montrer que $a \times b = 2$ , puis que $Im (a) > 0$ .
En déduire que $a = - \frac{1}{2} + i \frac{7}{2}$ et que $b = \overline{a}$ .
Déterminer la valeur exacte de $u = sin \frac{π}{7} - sin \frac{2 π}{7} - sin \frac{4 π}{7}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour 1a), reconnaissez que $S$ est la somme des $7$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $z$, et utilisez la formule $\dfrac{1-z^7}{1-z}$ en remarquant que $z^7=1$.

2 Indice 2

Pour 2), développez le produit $a\times b$ terme à terme, en réduisant les puissances de $z$ supérieures à $6$ grâce à $z^7=1$ (par exemple $z^8=z$). Pour le signe de $\mathrm{Im}(a)$, exprimez-le comme une somme de sinus et regroupez astucieusement les termes pour faire apparaître des quantités positives.

3 Indice 3

Pour 3), $a$ et $b$ sont solutions d'une équation du second degré dont vous connaissez la somme et le produit ; utilisez les relations somme/produit racines-coefficients. Pour 4), reliez $u$ à $\mathrm{Im}(a)$ trouvé précédemment en comparant les expressions terme à terme.

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Pour 1a), reconnaissez que $S$ est la somme des $7$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $z$ , et utilisez la formule $\frac{1 - z ^{7}}{1 - z}$ en remarquant que $z^{7} = 1$ .

Pour 2), développez le produit $a \times b$ terme à terme, en réduisant les puissances de $z$ supérieures à $6$ grâce à $z^{7} = 1$ (par exemple $z^{8} = z$ ). Pour le signe de $Im (a)$ , exprimez-le comme une somme de sinus et regroupez astucieusement les termes pour faire apparaître des quantités positives.

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