Équation paramétrée, rotation et configuration géométrique

Soit $m$ un nombre complexe non réel ($m\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$).

I) On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation :

$(E):z^2-(1+i)(1+m)z+2im=0$

1. 1. Montrer que le discriminant de $(E)$ est non nul.
   2. Déterminer $z_1$ et $z_2$, les deux solutions de $(E)$.
2. On suppose ici que $m=e^{i\theta }$ avec $0<\theta <\pi$.
   1. Déterminer le module et un argument de $z_1+z_2$.
   2. Montrer que si $z_1{z}_2\in \mathbb{R}$, alors $z_1+z_2=2i$.

II) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. On considère $A$ d'affixe $a=1+i$, $B$ d'affixe $b=(1+i)m$, $C$ d'affixe $c=1-i$, $D$ image de $B$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi }{2}$, et $\Omega$ le milieu de $[CD]$.

1. 1. Montrer que l'affixe de $\Omega$ est $\omega =\frac{(1-i)(1-m)}{2}$ et calculer $\frac{b-a}{\omega }$.
   2. En déduire que $(O\Omega )\perp (AB)$ et que $AB=2O\Omega$.