Rotation, translation et alignement de trois points

Soit $a$ un nombre complexe différent de $1-i$. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation :

$(E):z^2-2(a+1-i)z+2a^2-4i=0$

1. Calculer $(a-1+i{)}^2$, puis résoudre l'équation $(E)$.
2. On considère les points $A(a)$, $B(a-ia+2)$, $C(a+ia-2i)$ et $\Omega (2-2i)$. Déterminer l'affixe de $I$, milieu de $[BC]$, puis déterminer le vecteur $\overrightarrow{u}$ de la translation $t$ qui transforme $A$ en $I$.
3. Soit la rotation $R\left(\Omega ;-\frac{\pi }{2}\right)$.
   1. Montrer que $R(C)=B$, puis en déduire que $(BC)\perp (\Omega I)$.
   2. Donner une méthode pour construire les points $B$ et $C$ à partir de $A(a)$.
4. On pose $a=b(1+i)-2i$ où $b\in \mathbb{R}$.
   1. Déterminer les affixes des vecteurs $\overrightarrow{CB}$ et $\overrightarrow{CA}$ en fonction de $b$.
   2. En déduire que $A$, $B$ et $C$ sont alignés.