Équation du second degré, forme trigonométrique et cercle de diamètre

On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation :

$(E):z^2-4iz-2+2i\sqrt{3}=0$

1. Vérifier que le nombre $a=1+i(2-\sqrt{3})$ est une solution de $(E)$, puis en déduire $b$, la seconde solution de $(E)$.
2. Montrer que $a^2=4(2-\sqrt{3})e^{i\frac{\pi }{6}}$, puis en déduire la forme trigonométrique de $a$.
3. Calculer $a\times b$, puis en déduire la forme trigonométrique de $b$.
4. On considère les points $A(a)$, $B(b)$ et $C(c)$ avec $c=2i+2e^{i\frac{\pi }{7}}$. Soit $(\Gamma )$ le cercle de diamètre $[AB]$.
   1. Déterminer $\omega$, l'affixe du centre $\Omega$ de $(\Gamma )$.
   2. Montrer que $(\Gamma )$ passe par $C$ et par $O$, puis en déduire que $\frac{c-a}{c-b}\in i\mathbb{R}$.