Soit z  = 1 un complexe. Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : 1 + z + z 2 + ⋯ + z n − 1 = z − 1 z n − 1 a) Vérifier que pour tout x ∈ R : e i x − 1 = 2 i sin 2 x e i 2 x . b) Pour n ∈ N ∗ et x ∈ R (avec e i x  = 1 ), calculer Z n = 1 + e i x + e 2 i x + ⋯ + e ( n − 1 ) i x , puis en déduire X n = k = 0 ∑ n − 1 cos ( k x ) et Y n = k = 0 ∑ n − 1 sin ( k x ) .

Somme géométrique et sommes trigonométriques

Difficile

Soit $z \neq = 1$ un complexe. Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ :
$1 + z + z^{2} + \dots + z^{n - 1} = \frac{z ^{n} - 1}{z - 1}$
a) Vérifier que pour tout $x \in R$ : $e^{i x} - 1 = 2 i sin \frac{x}{2} e^{i \frac{x}{2}}$ . b) Pour $n \in N^{*}$ et $x \in R$ (avec $e^{i x} \neq = 1$ ), calculer $Z_{n} = 1 + e^{i x} + e^{2 i x} + \dots + e^{(n - 1) i x}$ , puis en déduire $X_{n} = k = 0 \sum n - 1 cos (k x)$ et $Y_{n} = k = 0 \sum n - 1 sin (k x)$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour 1), factorise $z^n-1$ par $(z-1)$ en développant le produit $(z-1)(1+z+\\cdots+z^{n-1})$.

2 Indice 2

Pour 2a), factorise $e^{ix}-1$ par $e^{ix/2}$ et utilise $e^{i\\theta}-e^{-i\\theta}=2i\\sin\\theta$.

3 Indice 3

Pour 2b), applique la formule de 1) avec $z=e^{ix}$, simplifie avec le résultat de 2a), puis sépare partie réelle et partie imaginaire.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour 1), factorise $z^{n} - 1$ par $(z - 1)$ en développant le produit $(z - 1) (1 + z + c d o t s + z^{n - 1})$ .

Pour 2a), factorise $e^{i x} - 1$ par $e^{i x /2}$ et utilise $e^{i t h e t a} - e^{- i t h e t a} = 2 i s in t h e t a$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points