Composée de transformations, similitude et barycentre

Dans le repère orthonormé direct, on considère la transformation $r$ qui à $M(z)$ associe $M_1(z_1)$ avec $z_1=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}z+\frac{\sqrt{3}+i}{2}$, et la transformation $h$ qui à $M(z)$ associe $M_2(z_2)$ avec $z_2=-2z+3i$.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $r$ et de $h$.

2. Soit $a$ un complexe avec $a\ne i$, $A(a)$, $\Omega (i)$, et $F=h\circ r$ qui à $M(z)$ associe $M^{\prime }(z^{\prime })$. Montrer que $z^{\prime }-i=e^{i\frac{4\pi }{3}}(z-i)$ et en déduire la nature de $F$.

3. On pose $B=F(A)$, $C=F(B)$, $D=F(C)$. a) Déterminer $b$, $c$, $d$ en fonction de $a$. b) Montrer que $A$, $\Omega$, $D$ sont alignés. c) Montrer que $\Omega$ est le barycentre de $\{(D,1),(C,2),(B,4)\}$.