Équation paramétrée, rotation et points cocycliques

Soit $m$ un nombre complexe.

I) On considère $(E_m):z^2+(im+2)z+im+2-m=0$.

1. a) Vérifier que $\Delta =(im-2i{)}^2$. b) Donner, suivant les valeurs de $m$, les solutions de $(E_m)$.

2. Pour $m=i\sqrt{2}$, écrire les deux racines sous forme exponentielle.

II) Dans le repère orthonormé direct, on considère $A$, $\Omega$, $M$, $M^{\prime }$ d'affixes $a=-1-i$, $\omega =i$, $m$ et $m^{\prime }=-im-1+i$.

1. Soit $R$ la rotation d'angle $-\frac{\pi }{2}$ qui transforme $M$ en $M^{\prime }$. a) Vérifier que $\Omega$ est le centre de $R$. b) Déterminer l'affixe $b$ du point $B$ tel que $R(B)=A$.

2. a) Vérifier que $m^{\prime }-a=\frac{\omega -a}{\omega -b}(m-b)$. b) En déduire que $A$, $M$, $M^{\prime }$ sont alignés si et seulement si $A$, $B$, $\Omega$, $M$ sont cocycliques. c) Montrer que l'ensemble des $M$ tels que $A$, $M$, $M^{\prime }$ soient alignés est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.