On pose f ( z ) = ( z − i ) ( z + i z ) pour z ∈ C , et M le point d'affixe z . Soit u = f ( 1 − i ) . a) Donner la forme algébrique puis trigonométrique de u . b) En déduire les formes trigonométriques des racines cubiques de u . Déterminer l'ensemble des points M ( z ) tels que f ( z ) = 0 . Déterminer l'ensemble des points M ( z ) tels que f ( z ) ∈ R .

Racines cubiques et ensembles de points

Difficile

Énoncé

On pose $f (z) = (\overline{z} - i) (\overline{z} + i z)$ pour $z \in C$ , et $M$ le point d'affixe $z$ .

Soit $u = f (1 - i)$ . a) Donner la forme algébrique puis trigonométrique de $u$ . b) En déduire les formes trigonométriques des racines cubiques de $u$ .
Déterminer l'ensemble des points $M (z)$ tels que $f (z) = 0$ .
Déterminer l'ensemble des points $M (z)$ tels que $f (z) \in R$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1a, calcule d'abord $\overline{z}$ pour $z=1-i$, puis substitue dans l'expression de $f(z)$ en développant soigneusement.

2 Indice 2

Pour la question 1b, cherche $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ vérifiant $z^3=u$ : détermine $r$ à partir du module de $u$ et les trois valeurs de $\theta$ à partir de son argument, modulo $2\pi/3$.

3 Indice 3

Pour les questions 2 et 3, pose $z=x+iy$, développe $f(z)$ pour séparer partie réelle et partie imaginaire, puis traduis $f(z)=0$ (les deux parties nulles) ou $f(z)\in\mathbb{R}$ (partie imaginaire nulle) en équations sur $x$ et $y$.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1a, calcule d'abord $\overline{z}$ pour $z = 1 - i$ , puis substitue dans l'expression de $f (z)$ en développant soigneusement.

Pour la question 1b, cherche $z = r (cos θ + i sin θ)$ vérifiant $z^{3} = u$ : détermine $r$ à partir du module de $u$ et les trois valeurs de $θ$ à partir de son argument, modulo $2 π /3$ .

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