Transformation conservant le module et propriétés géométriques

Pour tout $z$ de $\mathbb{C}\setminus \{i\}$, on pose $f(z)=\frac{\bar{z}(z-i)}{\bar{z}+i}$. On considère les points $A(i)$, $A^{\prime }(-i)$, $M(z)$ et $M^{\prime }(f(z))$.

1. Pour $z\in \mathbb{C}\setminus \{0,i\}$, montrer que $|f(z)|=|z|$.

2. Montrer que pour tout $z\in \mathbb{C}\setminus \{i\}$ : $f(z)=-i⟺|z|=1$.

3. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z)=z$.

4. Montrer que $f(z)+i=\frac{|z{|}^2-1}{|z-i{|}^2}(z-i)$.